1. Cho x + y = 1; \(x^2+y^2=13\). Tính \(x^3+y^3\)
2. Cho a+b+c+d=0. CMR: \(a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(ac-bd\right)\left(b+d\right)\)
3. Cho x-y= -1; Tính GTBT: P = \(2\left(x^3-y^3\right)+3\left(x^2+y^2\right)\)
1,Ghpt:\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+3y+1=\left(x+3\right)\sqrt{y^2+1}\\\sqrt{2x\left(x+y\right)^3}+y\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=3\left(x^2+y^2\right)\end{matrix}\right.\)
2,Cho a,b,c,d∈Z tm:\(a^2+b^2+c^2=d^2\)
CMR:\(abc⋮4\) (xét chẵn lẻ)
Ta có:
\(\sqrt{2x\left(x+y\right)^3}+y\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)
\(=\sqrt{\left(2x^2+2xy\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)}+\sqrt{2}y.\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\le\sqrt{\left(2x^2+2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+y^2+x^2+y^2\right)}=2\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2\right)\le2\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow x=y\)
Thế vào pt đầu:
\(x^2+3x+1=\left(x+3\right)\sqrt{x^2+1}\)
Đặt \(\sqrt{x^2+1}=t\Rightarrow t^2-\left(x+3\right)t+3x=0\)
\(\Delta=\left(x+3\right)^2-12x=\left(x-3\right)^2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{x+3-\left(x-3\right)}{2}=3\\t=\dfrac{x+3+x-3}{2}=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow...\)
2. 4 biến xét dài quá, để người khác
2.
\(a^2+b^2+c^2+d^2=2d^2\) chẵn
\(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\) luôn chẵn
\(\Rightarrow a+b+c+d\) chẵn
\(\Rightarrow\) trong 4 số, luôn có 2 chẵn 2 lẻ, hoặc 4 số đều chẵn
Cả 2 trường hợp đều suy ra abcd chia hết cho 4 (tích của ít nhất 2 số chẵn)
Ủa mà nhìn lại bài 2 làm sai (nhìn sai đề thành chứng minh abcd chia hết cho 4, trong khi thực tế ko có d)
Vậy làm như sau:
Do bình phương của 1 số nguyên chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1, \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\) chia 4 dư 0, 1, 2, 3 (tùy thuộc trong số a;b;c có bao nhiêu số là chẵn)
Trong khi đó \(d^2\) chia 4 dư 1 nên ta chỉ có 2 TH sau:
TH1: \(a^2+b^2+c^2\) và \(d^2\) đều chia hết cho 4
\(\Rightarrow a;b;c\) đều chẵn \(\Rightarrow abc⋮4\)
TH2: \(a^2+b^2+c^2\) và \(d^2\) đều chia 4 dư 1
\(\Rightarrow\) Trong a;b;c có đúng 1 số lẻ và 2 số chẵn
\(\Rightarrow abc⋮4\)
1)tìm các số nguyên x và y thỏa mãn:\(y^2=x^2+x+1\)
2)cho các số thực x và y thỏa mãn \(\left(x+\sqrt{a+x^2}\right)\left(y+\sqrt{a+y^2}\right)\)=a
tìm giá trị biểu thức \(4\left(x^7+y^7\right)+2\left(x^5+y^5\right)+11\left(x^3+y^3\right)+2016\)
3)cho x;y là các số thực khác 0 thỏa mãn x+y khác 0
cmr \(\frac{1}{\left(x+y\right)^3}\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\right)+\frac{3}{\left(x+y\right)^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{6}{\left(x+y\right)^5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)\(=\frac{1}{x^3y^3}\)
4)cho a,b,c là các số dương.cmr\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(a+c\right)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge1\)
1. Chứng minh \(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}< 2\sqrt[3]{3}\)
2. a) Tính \(A=\frac{2b.\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}\) với \(x=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}\right)\left(a,b>0\right) \)
b) Tính \(B=\frac{xy-\sqrt{x^2-1}.\sqrt{y^2-1}}{xy+\sqrt{x^2-1}.\sqrt{y^2-1}}\) với \(x=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right);y=\frac{1}{2}\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(a,b\ge1\right)\)
3. Cho x,y thỏa mãn \(xy\ge0\). Tính \(B=\left(\left|\sqrt{xy}+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right|-\left|x\right|\right)+\left(\left|\sqrt{xy}-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\right|-\left|y\right|\right)\)
4. Cho \(\frac{2x+2\sqrt{x}+13}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+1\right)^2}=\frac{A}{\sqrt{x}-2}+\frac{B\sqrt{x}+C}{x+1}+\frac{D\sqrt{x}+E}{\left(x+1\right)^2}\). Tìm các số A,B,C,D,E để đẳng thức trên là đúng với mọi x
1, Cho a, b, c thỏa mãn :
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=abc\\\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)=a^3b^3c^3\end{matrix}\right.\\ CMR:abc=0\)
2, a, CMR nếu x + y + z = 0 thì :
\(2\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
b, Cho a, b,c, d thỏa mãn : a + b + c + d = 0
CMR : \(a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(ab-cd\right)\left(c+d\right)\)
Mọi người giải giúp mk, đc bài nào hay bài ấy nhé!
2 ) b )
\(a+b+c+d=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-\left(c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-\left(c+d\right)^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3b^2a=-c^3-3c^2d-3d^2c-d^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3b^2a+c^3+3c^2d+3d^2c+d^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3a^2b-3b^2a-3c^2d-3d^2c\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab\left(a+b\right)-3cd\left(c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3ab\left(c+d\right)-3cd\left(c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(ab-cd\right)\left(c+d\right)\) \(\left(đpcm\right)\)
1,Rút gọn:
a, A= (a+b+c+d)\(^2\)+(a+b−c−d)\(^2\)+(a+c−b−d)\(^2\)+(a+d−b−c)\(^2\)
b, B= \(\left(3+1\right).\left(3^2+1\right).\left(3^4+1\right).\left(3^8+1\right).\left(3^{16}+1\right).\left(3^{32}+1\right)\)
2, Cho x+y=a, x.y=b. Tính:
\(a,x^2+y^2\)
\(b,x^3+y^3\)
\(c,x^4+y^4\)
\(d,x^5+y^5\)
3,
a, Cho x+y=z, \(x^2+y^2=10.\)Tính \(x^3+y^3\)
b, x+y=a, \(x^2+y^2=b.\)Tính \(x^3+y^3\)theo a,b.
Giúp mk với! Thanks.
1: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có tổng bằng 1. CMR: \(a^2+b^2+c^2+4abc< \dfrac{1}{2}\)
2: Cho -1<x,y,z<3 và x+y+z=1. CMR: \(x^2+y^2+z^2\le11\)
3: Cho x,y,z là các số \(\ge\)1 . CMR: \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{3}{1+xyz}\)
4: Cho x>y và xy=1. CMR: \(\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\ge8\)
5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác:
a)\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
b)\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
c)\(a^3+b^3+c^3+2abc< a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)
5) a) Ta có: \(a< b+c\)
\(\Rightarrow a^2< ab+ac\)
Tương tự: \(b^2< ba+bc\)
\(c^2< ca+cb\)
Cộng từng vế các BĐT vừa chứng minh, ta được đpcm
b) Ta có: \(\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\)
\(\left(c+a-b\right)\left(c+b-a\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\)
\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\)
Nhân từng vế các BĐT trên, ta được
\(\left[\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)
Các biểu thức trong ngoặc vuông đều dương nên ta suy ra đpcm
Bài 5:
a)
Ta có \(a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)>0\)
Điều này hiển nhiên đúng vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên
\(b+c-a,a+b-c,c+a-b>0\)
b) Áp dụng BĐT Am-Gm:
\((a+b-c)(b+c-a)\leq \left ( \frac{a+b-c+b+c-a}{2} \right )^2=b^2\)
\((a+b-c)(c+a-b)\leq \left (\frac{a+b-c+c+a-b}{2}\right)^2=a^2\)
\((b+c-a)(a+c-b)\leq \left ( \frac{b+c-a+a+c-b}{2} \right )^2=c^2\)
Nhân theo vế :
\(\Rightarrow [(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2\leq a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc\)
Do đó ta có đpcm
c)
\(a^3+b^3+c^3+2abc< a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\)
\(\Leftrightarrow a(ab+ac-a^2-bc)+b(ab+bc-b^2-ac)+c(ca+cb-c^2)>0\)
\(\Leftrightarrow a(a-c)(b-a)+b(b-c)(a-b)+c^2(a+b-c)>0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(b-a)(b+a-c)+c^2(b+a-c)>0\)
\(\Leftrightarrow (b+a-c)[c^2-(a-b)^2]>0\)
Điều này hiển nhiên đúng vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác thì \(b+a>c, c>|a-b|\)
Do đó ta có đpcm.
Bài 1:
Sử dụng kết quả của bài 5.
Ta có : \(a^2+b^2+c^2+4abc< \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+8abc< 1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+8abc< 1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ac)+8abc<0\) (do \(a+b+c=1\) )
\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)> a^2+b^2+c^2+8abc\)
Thay \(1=a+b+c\), BĐT tương đương với:
\(2(ab+bc+ac)(a+b+c)> (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+8abc\)
\(\Leftrightarrow 2[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]>a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc\)
\(\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)>a^3+b^3+c^3+2abc\)
\(\Leftrightarrow a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)>a^3+b^3+c^3+2abc\)
Điều này đã được cm ở phần c bài 5
Do đó ta có đpcm.
Rút gọn biểu thức:
a) \(A=\left(x-y\right)^3+\left(y+x\right)^3+\left(y-x\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)
b) \(B=3x^2\left(x+1\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)+\left(x^2-1\right)^3\)
c) \(C=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-2x^3\)
d) \(D=\left(x+1\right)^3+\left(x-1\right)^3+x^3-3x\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)
Rút gọn biểu thức:
a) \(A=\left(x-y\right)^3+\left(y+x\right)^3+\left(y-x\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)
b) \(B=3x^2\left(x+1\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)+\left(x^2-1\right)^3\)
c) \(C=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-2x^3\)
d) \(D=\left(x+1\right)^3+\left(x-1\right)^3+x^3-3x\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)
Cho A = \(\dfrac{\left(x-y\right)^2+xy}{\left(x+y\right)^2-xy}.\left[1:\dfrac{x^5+y^5+x^3y^2+x^2y^3}{\left(x^3-y^3\right)\left(x^3+y^3+x^2y+xy^2\right)}\right]\)
B = x - y
Chứng minh đẳng thức A = B
Tính giá trị của A, B tại x = 0; y = 0 và giải thích vì sao A ≠ B
\(ĐK:x\ne y;x\ne-y;x^2+xy+y^2\ne0;x^2-xy+y^2\ne0\)
\(A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\left[1:\dfrac{\left(x^3+y^3\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)}\right]\\ A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\\ A=x-y=B\)
\(x=0;y=0\Leftrightarrow B=0\)
Giá trị của A không xác định vì \(x=y\) trái với ĐK:\(x\ne y\)
Vậy \(A\ne B\)